分形——自然界的几何学

B.B.Mandelbrot

分形几何扮演了两种角色。它技术决定论混沌的几何学，又是描述山峦、云团和星系的几何学。

自然科学与几何学总是携手并进的。17世纪，开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道。这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道。同样，理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示。简单的动力学常常和简单的几何外形相联系。这一种数学图像暗示，物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系。在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的，由系统的过去便能预测其未来。

两种新近的科学进展深深影响了几何外形相联系。首先是由于认识到自然界充满了某种称为决定论混沌的事物。宇宙中许多表面看来服从决定论定律的简单物理系统，其行为仍然是不可预测的。例如，受两个力作用的摆。用决定论的观念已无法预测其运动，这使大多数人吃惊。

第二种进展来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。获取这种数学描述的一条途径在于找到"模型"。换言之，需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做"数学上的伪造"——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。

实际上，伽利略曾宣称，"自然界伟大的书是用数学语言写成的"，而且补充说，"其特征为三角形、圆形和其他几何图形，没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡"。然而不论模拟决定论混沌还是模拟不规则系统，这些欧几里得外形已经没什么用。这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几里得结构——特别是需要称之为分形几何的新几何学。

1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。首先，它们处处无规则可言。其次，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模样——它是自相似的。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。

自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。

用明显的数学模型加工出的分形工艺品为Sierpinski垫圈。取一黑三角形并把它分割成四个较小的三角形，拿掉中心部分的第四个三角形，便留下一个白三角形。每一个新三角形也重复上述做法，便能获得尺度不断缩小具有同样形式的结构，边长总是教上一步边长缩小一倍。当客体的部分和整体完全相似，就可以说客体是线性自相似的。

然而，最重要的一些分形和线性自相似还是有区别的。其中有些是描述普通随机性的分形，另一些是能描述混沌，或非线性系统的分形（在这种系统中对系统行为起作用的因素，其作用程度与其产生的效果不成比例）。让我们为上两种情况举出实例。

我们的分形由于能伪造海岸线、山峦和云团而知名。另一个例子是为《星际旅行II》那样的影片制作的一些场景。

我们的分形模拟著作从少量的人类智慧和大量的博物学知识开始。人类智慧从观察某些事物入手，像立体派画家那样做观察。"云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进"。所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。换言之，我们发现，把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构，而它几乎就是我们一开始处理的那种原始结构的复制品。

博物学知识涉及对自然结构事实的收集与分类。例如，当你测量一个国家的海岸线，测得越精细，海岸线长度长度便会越长，因为你不得不计入沿海岸线长度越来越小的不规则性。刘易斯.赖伊.理查森已经找到描述这种长度增加的经验定律。

为使分形几何有意义，我们不得不寻找一种方法，从数量的观点来表达形状的复杂性，就象欧几里得几何引用角度、长度、面积、曲率，以及用一维、二维、三维这些概念一样。

对于复杂的几何形体，普通维数的概念可能随尺度不同而改变。例如，直径10厘米的球用1毫米粗的细线做成。从远处看，球是一点。离10厘米远，线球是三维的。在10毫米处，它是一维线团。在1毫米处，每根线变成了圆柱体，整体又一次变成一维，如此等等，维数"交叉"反复从一个值到另一个值。当球用有限数目像原子那么小的微物代表时，它变成零维。

对于分形，和普通维数（0，1，2，3）相对应的维数称为分形维数。通常，它们的维数值不是整数。

最简单的分形维变量是相似维Ds只不过给出描述客体所需要的普通维数——分别为0、1、2、3。对一条曲线线性自相似分形又该怎么看呢？这样一条曲线能从很光滑的一维线，到接近充填成一个面，这意味着线缠绕得太多了，以致看起来它的每一部分都是面上的某个区域，变成差不多是二维。相应的Ds值就要在大于1而小于2的范围内。这样就能把Ds说成是对这条曲线复杂性的量度。更一般地说，Ds是分形外形复杂性或粗造程度的量度。

另一简单的分形维是质量维。一维直杆质量的增加与长度成正比，比方说，是2R。半径为R的二维圆盘质量的增加与圆面积πR^2成正比。球质量的增加与圆球体积4/3πR^3成正比。这样看来，当维数进一步增加，质量的增加便和R的相应维数的方次成比例。

在分形情况下，质量的增加与R的Dm起普通维数的作用，因为称之为分形维是很自然的。很幸运，在所有简单情况下，Ds和Dm（以及分形维的其他定义）严格地取同一值。若不是最简单的情况，它们的值可以不同。

模型建立的下一步是设想最简单的几何结构，其特征与所生成的自然结构特征相同。事实上，我们已经汇集到，并在不断充实可用于分形几何的这种结构工具。为检验这种数学工具是否适当，我们把模型的数值特征和真实事物相比较——例如，比较山峦的分形维数。然而，这还不够，我们还要用计算机作图以检验这种数学工具是不是好。

到最后，我们希望从山峦的分形模拟方法产生一种理论，以描述地球表面的地势起伏。

既然分形可用于描述复杂的自然界外形，那么分形能描述复杂的动力学系统的行为也就不足为奇了。正如以前在有关混沌系列文章中所表明的，模拟液体湍流、天气、或昆虫群体的动力学方程式是非线性的，具有典型的决定论混沌性质。如果对这些方程做迭代——检验它们在超长时间演变时的解——我们发现，许多数学性质，特别是在做计算图示时，显示了其自身是自相似的。

我在非线性分形领域最知名的贡献是提出了曼德布罗特集(Mandelbrot set)。这种集是由比较简单的方程式做迭代而形成的。它显示出异乎寻常的图形，十分错综复杂。有人称之为非线性分形几何肖像。

曼德布罗特集并不仅仅产生美丽的图像。如果我们非常仔细地检验大量的图像就会发现，无数的实验观测结果能够以数学推测的形式重现。它们当中的许多已经形成颇具光彩的定理和证明。它也鼓励数学采用新方法，利用计算机屏幕。

数学推测通常是由事先已知的定理得出的。近几十年，从物理学或制图学没输入什么东西，这意味着纯数学的某些领域，诸如迭代理论（曼德布罗特集即属于这种理论），已经失掉动力。在计算机上做出分形图像重新使迭代理论复苏。把相互有关的图像加以对照便能为数学上的新发现提供深层次的信息。研究曼德布罗特集已经得出许多推测，它们说起来简单，但却难以证明。分析研究它们已经产生许多有趣的副结果。

自然，许多相关的分形会产生漂亮的令人赶兴趣的图形。实际上，一些今天被认为是分形的外形早在许多年之前就已发现。这种数学的某些内容发表在1875年到1925年期间法国数学界亨利•庞伽莱、皮埃尔•法图和加斯顿•朱丽亚等人的著作中。但没有人意识到它们作为形象描述的工具以及它们与真实世界物理学有关这两方面的重要意义。

一种描述真实世界随机分形的模式叫做凝聚扩散（DLA）随机生成形式。这里产生了像树一样的令人迷惑的错综复杂的形态。DLA能模拟灰烬的形成，水在岩石中的渗漏，固体裂纹的扩展和闪电的迸发。

为看到它是如何形成的，取一非常大的国际象棋棋盘，在棋盘中心置一皇后，她是不允许移动的。兵，允许它在棋盘上四个方向中的任何一个方向移动，从棋盘边缘上的随便什么起始点起步，按指示完成随机的，或醉酒者那样的走步。每一步的方向是从四个相等几率的方向中选定的。当一个兵到达紧靠原始皇后的一个方格，它自己就变成新的皇后，也就不能进一步移动了。最终，一个树枝状的，而不是网状的皇后群体逐渐形成，被称为"威顿-桑特DLA族"（"Witten Sander DLA cLUSTER"）。

完全没有料到，大规模计算机模拟已经证明DLA族是分形；它们差不多是自相似的。它的很少的部分和很大的部分被缩小以后的形式及其相似。但族和随机形成的线性自相似性还是有区别的，以后我们会提出某些令人感兴趣的课题。

DLA族分形生长过程的特点在于，它非常清楚地显示出平滑变化的参数能产生凹凸不平的效果。为此让我们按静电势能的理论重新表述原来的结构。设想有一用来构成DLA的大盒子，置于一正电势场内，靶体，即原始皇后，放在中心，其势能为零。那么在盒子的其他位置上势能值是多少呢？

科学家们早就知道，当中心物体的外形是平滑曲线，或有少量折角（像三角形或正方形）如何计算各处的势能。这些经典的分析计算能确定势能相等的一些曲线。这些等势曲线都是平滑的，它们介于固定的盒子和中心固定物体边界之间，能反映出势能逐渐变化的情况。其次，假设中心固定物体的边界有像针一样的凸出部分，那么针周围的等势曲线就会很密集，势能的下降就要很急剧，引起放电：针起到像避雷针一样的作用。当中心物体为DLA族，它的边界上排满了针，闪电就要袭击这些处于暴露地位的针。

这里终于出现急需要的新鲜事：DLA的机理和针被闪电击打后闪电的扩展或分叉是一样的。DLA实验使我们认识到，当允许边界随势能移动时，DLA族便发展成越来越大的DLA结构。这意味着我们能从形成等势线的具有平滑特性的方程式建立起凹凸不平的分形图。在这种意义上，分形几何已同向新的课题和新的研究领域。

分形几何也在于描述自然界其他复杂的现象。其最富有成果的领域之一是对湍流运动的研究，不仅研究它何以会出现——在相图上显示的动力学是分形的——也研究湍流结构的复杂外形。如此说来，水和云团的射流和尾流原来是分形的。这要归因于流体运动方程（纳维耶-斯托克斯方程）所起的作用。把外形和产生外形的动力学相联系是远没有解决的问题。绘制这种关系图将成为了解湍流的重要步骤。

分形能作恰当描述的另外领域是对活着的东西和对宇宙，虽然在所有情况下，在非常小的尺度和非常大的尺度上分形描述会失灵。树或道路并不能没有限制地分叉，整个树木也不会是超级树的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。数一数星系就能看到小尺度至少延伸1500万到3000万光年之遥。有越来越有力的证据证明，存在着尺度超过30000光年的大空白区。这种空白区正是在分形分布中所预料到的。

分形的重要性如何？像混沌理论一样，现在很有把握地说些什么还为时过早，但其前景看好。许多分形已经对文化有重要影响，而且已被看作是新艺术形式的成果。有些分形是对真实的模拟，而另一些却完全是虚构和抽象。数学家和艺术家出乎意料地看到了这样一种文化上的相互作用。

在外行看来，分形艺术似乎是魔术。但不会有任何数学家疏于了解它的结构和意义。许多作为基础的方程式被认为是纯数学的一部分，对真实世界没有任何用处，它所代表的真实自然现象还从没见过。最重要的是，正如已提到的，应用分形最活跃的领域是在物理学，它们已帮助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难问题。

分形图最后的副产品是它对年青人的吸引正重新唤起他们对科学的兴趣。曼德布罗特集和其他分形图现在出现在T血衫和招贴画上，许多人希望这将使青年人感受到数学的美丽和富于表现，感受到它们和真实世界之间深奥的关系。

（原载《世界科学》，1991年第11期）

2009-05-17